Ruletka matematikasy · Qoldanbaly · 8 min

Kelly kriteriı jäne ruletka

Q: Kelly ruletkağa bäs tıgu kerek dep aita ma?

Tek auytqyğan döñgelekten ölşengen artyqşylyq ne uaqyt ölşeu qūrylğysy bolsa. Ädıl döñgelekte emes.

Kelly kriteriı artyqşylyğy bar oiynşyğa qanşa tıgu keregın aitady. Ruletka üşın onyñ jauaby anyq: eşteñe.

Qysqa jauap

Kelly bäsı = artyqşylyq / koeffitsientter. Terıs artyqşylyqta formula terıs ülestı beredı, iağni bäs tıkpeñız. Degenmen kriteri auytqu oiynşylarynyñ bästı nege solai mölşerlegenın jäne basqalardyñ nelıkten biujetke sai mölşerleuı keregın tüsınuge paidaly.

Kelly ülesı

f* = (bp − q) / b

qyzyl üşın

(1 × 18/37 − 19/37) / 1 = −1/37

tüsındırme

bäs tıkpeñız

1/30 ūiaşyq üşın

≈ oiyn qorynyñ +0,6%-y

Kriteri

John Kelly (1956) belgılı artyqşylyğy bar oiynşy ūzaq merzımdı oiyn qorynyñaqşaOiyn qoryOiynğa arnap bölıngen jalpy soma. Oiyn qoryn basqaru — onyñ bır bäske jäne bır sessiağa qanşa bölıgın qaterge tıgudı şeşu.Tolyğyn oqu → ösuın barynşa arttyru üşın bästerdı qalai mölşerleuı kerek ekenın sūrady. Jeñıs yqtimaldyğymatematikaYqtimaldyqNätijenıñ mümkındıgı; 0-den 1-ge deiın ne 0%-dan 100%-ğa deiın. Bır nömır: 1/37 = 2,70%.Tolyğyn oqu → p, ūtylu yqtimaldyğy q = 1 − p bolatyn jäne b-den 1-ge töleitın bäs üşın jauap — oiyn qorynyñ f* = (bp − q) / b ülesın tıgu. Oñ f* sol ülestı tıgu degendı bıldıredı; nöl ne terıs män bäs tıkpeudı bıldıredı. Kelly Bell Labsta jūmys ıstedı, al onyñ «A new interpretation of information rate» eñbegı mäselenı Claude Shannonnyñ aqparat teoriasynda qoidy: şuly jelı arqyly keñes alatyn oiynşy ädıl koeffitsientterde oiyn qoryn jelı tasymaldaityn aqparat jyldamdyğynan artyq ösıre almaidy. 1961 jyly Leo Breiman Kelly boiynşa bäs tıgu ūzaq merzımde aitarlyqtai özgeşe kez kelgen strategiadan ozyp şyğatynyn jäne belgılengen maqsatqa şamamen eñ qysqa uaqytta jetetının däleldedı.

Oiynşy şuly jelı arqyly keñes estıp, oiyn qorynyñ bır bölıgın tıgedı.

Ruletkadağy Kelly boiynşa bäs tıgu

QyzylbäsQyzyl18 qyzyl nömırge teñ tölemdı bäs. Frantsuzşa: rouge.Tolyğyn oqu → üşın: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Bır nömırge bäsbäsBır nömırge bäsBır nömırge bäs, 35:1 töleidı.Tolyğyn oqu → üşın: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Är standartty bäs terıs Kelly ülesın beredı, öitkenı är bäs terıs artyqşylyqqa ie, al ösudı oñtailandyratyn bäs somasy nölge teñ. Ruletkada Kelly boiynşa bäs tıgu — kazino artyqşylyğy betınıñ aitqanyn formaldy türde jetkızu: terıs kütılımdı bästı oiyn qoryn ösıretın mölşerde tıgu mümkın emes.

bäsbpf* = (bp − q)/bmağynasy

qyzyl, europalyq118/37−0,027bäs tıkpeñız

qyzyl, La Partage118/37 (+½ nölde)−0,0135bäs tıkpeñız

bır nömırge bäs351/37−0,00077bäs tıkpeñız

1/30 ūiaşyqqa bır nömırge bäs (auytqyğan)351/30+0,0057oiyn qorynyñ 0,57%-yn tıgıñız

1/25 ūiaşyqqa bır nömırge bäs351/25+0,0126oiyn qorynyñ 1,26%-yn tıgıñız

Kelly qoldanylğan jer

Auytqudan paida tapqan oiynşylarda artyqşylyq ta, bäs mölşerın aiqyndau mäselesı de boldy. Jagger, García-Pelayos jäne Eudaemons — bärı ölşegen artyqşylyğyna qanşa tıgu keregın şeşuı tiıs edı: az tıgu artyqşylyqty bosqa şyğyndaidy, al tym köp tıgu artyqşylyq körınbei tūryp küireu qaupın tudyrady. 30 ainalymda 1 ret tüsetın ūiaşyqjabdyqŪiaşyqRotordağy 37 nömırlengen bölımnıñ bırı. Basqaşa: oiyq, şynyaiaqşa.Tolyğyn oqu → üşın Kelly är ainalymda sol nömırge oiyn qorynyñ 0,57%-yn tıgu kerek deidı: $10 000 bolsa, bır ainalymğa şamamen $57, ädettegı ösım bır ainalymğa şamamen 0,054%, ne ×1,7 — 1 000 ainalymnan keiın. Ortaşa ösım būdan ekı ese, bır ainalymğa 0,11%, bıraq Kelly sättı bırneşe seria ülkeitetın ortaşa mänge emes, ädettegı oiyn qoryna bağyttalady. Artyqşylyq bağasy belgısız bolğandyqtan, ädette jarty Kelly tañdalady.

Bır nömırge bäs üşın oiyn qorynyñ %-y retındegı Kelly bäsı, ūiaşyqtyñ naqty tüsu jiılıgı boiynşa%

1/37 (ädıl)

0% · bäs tıkpeñız

1/35

0,08%

1/33

0,26%

1/30

0,57%

1/25

1,26%

1/20

2,0%

012,0%

Ülken auytqudyñ özı şağyn bästı talap etedı: tölem ūzaq, al dispersia joğary.

Ataqty ruletka oiynşylary Eudaemons

Ädettegı jäne ortaşa

Ädettegı oiyn qory men ortaşa oiyn qorynyñ arasy ülken. 25 ainalymda 1 ret tüsetın, artyqşylyğy 44% ūiaşyqty alaiyq; būl — Thorp öz qūrylğysy üşın keltırgen san. Kelly oğan oiyn qorynyñ 1,26%-yn tıgedı. 1 000 ainalymnan keiın ädettegı oiyn qory şamamen 11,5 ese ösedı, al sättı az ğana serialar joğary tartatyn ortaşa oiyn qory şamamen 249 ese ösedı. Kellydan artyq tıgu ortaşa mändı köterıp, ädettegı nätijenı tömendetedı: Kelly bäsınıñ ekı esesınde ädettegı oiyn qory tek ekı eselenedı, al Kelly bäsınıñ ekı jarym esesınde ol azaiady, degenmen är bäs älı de 44% artyqşylyqqa ie. Az tıgu az şyğyndatady: jarty bäs ösımnıñ şamamen törtten üşın saqtaidy.

bäs, Kelly ülesıbäs, oiyn qorynyñ %-y1 000 ainalymnan keiıngı ädettegı oiyn qory

½0,63%× 6,7

11,26%× 11,5

1½1,89%× 7,4

22,51%× 2,2

2½3,14%× 0,38

33,77%× 0,04

25 ainalymda 1 ret tüsetın, 35-ke 1 tölenetın bır ūiaşyq. Ädettegı — mediana; e sany bır ainalymdağy ösımnıñ 1 000 eselengen därejesıne şyğarylğan.

Artyqşylyq boljam bolğanda

Kelly artyqşylyq belgılı dep joramaldaidy. Üstelde ol bağalanady jäne bağa ädette tym joğary bolady. Epsteinnıñ Thorptyñ 44%-yna qūrylğan mysalynda qos nölıdöñgelekNölTeñ tölemdı, diujina ne bağan bästerınıñ eşqaisysy jappaityn jalğyz jasyl ūiaşyq; kazino artyqşylyğynyñ közı. Sondai-aq: bır nöl, 0.Tolyğyn oqu → bar döñgelektegı 1 225 ainalymda 49 ret tüsken nömır bar: 25 ainalymda 1 ret, 44% artyqşylyq, Kelly bäsı 1,26%. Bıraq ädıl qos nöldı döñgelekte 38 nömır bar, onyñ eñ jiı tüsetını 1 225 ainalymda 49 ne odan köpke şamamen toğyzdyñ bırınde jetedı. Kez kelgen jazbadağy eñ jiı nömır — sättılık köbırek kömekteskenı de, sondyqtan şyn auytqyğan ūiaşyqtyñ özı jazbada şyndyğynan jaqsyraq körınedı: jeñımpazdyñ qarğysy. Eger būl ūiaşyq şyn mänınde auytqymağan bolsa, Kelly bäsı orta eseppen 5,26% joğaltatyn jai bäs. Ädettegı jauaptar — Kellydyñ bır bölıgın ğana tıgu jäne artyqşylyq jaña jazbada saqtalğanşa sanaudy jalğastyru («Ruletka döñgelegınıñ auytquyn qalai anyqtauğa bolady» betın qarañyz).

Artyqşylyğy bar adamdar

Artyqşylyqty bılu ony jaqsy paidalanumen bırdei emes. Haghani men Dewey (2016) 61 adamğa tiynnyñ eltañbaly jağy 60% jağdaida tüsedı dep aitylğan tiynğa jarty sağat boiy tıgu üşın ärqaisysyna $25 berdı; ūtys $250-men şekteldı (oiynşylar şekke jetkende ğana bıldı). Kelly är joly oiyn qorynyñ 20%-yn eltañba jağyna tıgu kerek deidı, al avtorlar 10–20% tūraqty bäster şekke şamamen 95% jağdaida jetedı dep bağalady. Oğan oiynşylardyñ tek 21%-y jettı. 28% küiredı, 61 adamnyñ 18-ı bır laqtyruğa bärın tıktı, şamamen üşten bırı bastağan $25-tan tömen aiaqtady, al ortaşa tölemaqşaTölemŪtqan bästıñ qaitarymy; qaitarylatyn bäs somasynyñ üstınen «X-ke 1» türınde aitylady.Tolyğyn oqu → $91 boldy. 61 adamnyñ beseuı ğana Kelly kriteriı turaly estıgen. Artyqşylyq bolsa, bäs mölşerı ony saqtai alatynyñyzdy şeşedı; ädıl döñgelektegıdei artyqşylyq bolmasa, eşbır mölşer kömektespeidı.

Bır oiynşy bır laqtyruğa bärın tıgedı, al qasyndağysy şağyn ülestı tıgedı.

Onyñ ornyna nenı qoldanu kerek

Artyqşylyqsyz mölşerleu — ösu mäselesı emes, biujet mäselesı: bäs somasy = sağatyna biujetten jäne üstel qarqynynan tuyndaityn bır ainalymğa jūmsauğa daiyn soma (oiyn qoryn basqaru betı). Kellydyñ kädımgı oiynşyğa bererı — jauabynyñ aiqyndyğy: nöl. Nölden artyq tıkkenıñızdıñ bärı — formula oñtailandyrmağan, özıñız tañdağan oinau bağasy.

Bölşek Kelly jäne «aqşany basqaru» turaly eskertu

Bäs saiyn oiyn qorynyñ bekıtılgen paiyzyn ūsynatyn «ruletkağa arnalğan Kelly» dep satylatyn jüieler — bäs somasy ūtylğan saiyn azaiatyn tūraqty bäs tıgustrategiaTūraqty bäs tıguÄr ainalymda bırdei soma tıgu. Barlyq progressia salystyrylatyn bastapqy deñgei.Tolyğyn oqu →. Olar ainalymnyñaqşaAinalym somasyQaita tıgılgen ūtystardy qosa eseptegende, sessia ne kezeñ boiy tıgılgen jalpy soma. Basqaşa: ainalym, äreket.Tolyğyn oqu → 2,70%-yn joğaltady jäne bäs ūtylğan saiyn azaiatyndyqtan, küireudı ekıtalai emes, baiau etedı. Būl biujettı ūzaqqa jetkızudıñ oryndy täsılı, bıraq būl Kelly emes: Kelly toqtaudy aitar edı.

Tūraqty bäs tıgu ruletka strategiasy

Formula

f* = (b·p − q) / b

qyzyl: f* = −1/37 · bır nömırge bäs: f* = −1/1295

r jiılıgımen tüsetın auytqyğan ūiaşyq: f* = (35r − (1 − r)) / 35

Sūraqtar

Kelly ruletkağa bäs tıgu kerek dep aita ma?

Tek auytqyğan döñgelektenzerthanaAuytqyğan döñgelekFizikalyq aqaulary keibır ūiaşyqtarğa tüsu yqtimaldyğyn 1/37-den joğary etetın döñgelek. Sirek kezdesedı, tek myñdağan jazylğan ainalymnan anyqtalady.Tolyğyn oqu → ölşengen artyqşylyq ne uaqyt ölşeu qūrylğysy bolsa. Ädıl döñgelekte emes.

Nelıkten jarty Kelly?

Öitkenı artyqşylyq bağasynda qate bar, al artyq tıgu az tıguden qymbatyraq. Jarty Kelly dispersianyñmatematikaDispersiaNätijelerdıñ kütıletın männen qanşalyqty keñ taralatynyn ölşeu. Bır nömırlık bäste joğary, teñ tölemdı bästerde tömen.Tolyğyn oqu → törtten bırınde ösımnıñ törtten üşıne juyq mölşerın beredı.

Kelly oiyn qoryn basqarumen bırdei me?

Joq. Kelly artyqşylyq bolğanda ösımdı oñtailandyrady. Oiyn qoryn basqaru ol bolmağanda şyğyndy baqylaidy.

Matematikamen oiyn

Äuelı būlardy özıñız şeşıp körıñız. Är şeşım jasyrylğan; daiyn bolğanda aşyñyz.

Thorp pen Shannonnyñ boljau qūrylğysy şamamen 44% artyqşylyq berdı. Bır boljanğan nömırde Kelly oiyn qorynyñaqşaOiyn qoryOiynğa arnap bölıngen jalpy soma. Oiyn qoryn basqaru — onyñ bır bäske jäne bır sessiağa qanşa bölıgın qaterge tıgudı şeşu.Tolyğyn oqu → 1,26%-yn tıgudı aitady. Däl sol 44% artyqşylyq bes körşı nömırge jaiylğan bır bäste bolsa şe?
Şeşımdı körsetu
Jauap Onda Kelly oiyn qorynyñ 7,1%-yn aitady, al oiyn qory şamamen alty ese jyldamyraq ösedı: 1 000 bäste şamamen 1,25 million ese, şamamen 11,5 esege qarsy.
44% artyqşylyğy bar bır nömırge bäsbäsBır nömırge bäsBır nömırge bäs, 35:1 töleidı.Tolyğyn oqu → 0,04 yqtimaldyqpen ūtady, öitkenı 36 × 0,04 = 1,44. Kelly tıgılımın artyqşylyqty koeffitsientke bölu arqyly tabady: 0,44/35 = 1,26%. Bır bästegı tiptık ösu 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, sondyqtan 1 000 bäs oiyn qoryn e^2,44 ≈ 11,5 ese köbeitedı.
Bır tıgılımdı bes nömırge jaisañyz, bäs 0,20 yqtimaldyqpen ūtyp, 1-ge 36/5, iağni 6,2-ge 1 töleidı: 0,2 × 7,2 = 1,44 bolğandyqtan, artyqşylyq bärıbır 44%. Kelly tıgılımı 0,44/6,2 = 7,10%, al bır bästegı ösu 0,01404, şamamen 5,75 ese köp. 1 000 bäste būl e^14,04, şamamen 1,25 million.
Artyqşylyq bırdei; auytqu kışırek. Beseudıñ bırınde ūtatyn bäs küireu qaupınsız oiyn qorynyñ ülkenırek ülesın kötere alady, al Kelly ösuı sony syilaidy. Thorp (1984) mysaldy boljam oiynşylary nelıkten sektorlarğadöñgelekSektorDöñgelektegı qatar ornalasqan ūiaşyqtar doğasy; üsteldegı toptan özgeşe.Tolyğyn oqu → tıgetının körsetu üşın qoldanady. Is jüzınde bes körşıbäsKörşılerNömır jäne döñgelektegı onyñ ekı jağyndağy ūiaşyqtar; bes bır nömırlık fişka.Tolyğyn oqu → bır eñ jaqsy nömırden säl tömen artyqşylyq beredı (qarañyz: Advantage Play).
Oiynşy ärqaisysy 37-nıñ 1-ınıñ ornyna 25-tıñ 1-ınde tüsetın ekı körşı ūiaşyqjabdyqŪiaşyqRotordağy 37 nömırlengen bölımnıñ bırı. Basqaşa: oiyq, şynyaiaqşa.Tolyğyn oqu → tapty. Ol aralaryndağy ekı nömırlık bäskebäsEkı nömırlık bäsJanasqan ekı nömır, 17:1 töleidı.Tolyğyn oqu → 17-ge 1 tıge me, älde är nömırge jeke-jeke bäs qoia ma? Kelly qandai ülestı ūsynady jäne oiyn qory bır osyndai ūiaşyqpen salystyrğanda qanşalyq jyldam ösedı?
Şeşımdı körsetu
Jauap Aiyrmasy joq: ekı nömırlık bäske oiyn qorynyñ 2,59%-y ne är nömırge 1,29%. Tiptık oiyn qory 1 000 ainalymda şamamen 155 ese ösedı, bır ūiaşyqtağy 11,5 esege qarsy.
Ekı nömırlık bäs yqtimaldyğymatematikaYqtimaldyqNätijenıñ mümkındıgı; 0-den 1-ge deiın ne 0%-dan 100%-ğa deiın. Bır nömır: 1/37 = 2,70%.Tolyğyn oqu → 2/25 = 0,08 bolyp ūtady jäne 17-ge 1 töleidı, sondyqtan tıgılgen är bırlıkkeaqşaBırlıkJüie ne oiynşy jūmys ısteitın negızgı bäs somasy. Progressialar kez kelgen üstelde qoldanyluy üşın bırlıktermen sipattalady.Tolyğyn oqu → 18 × 0,08 = 1,44 qaitarady: bır auytqyğan ūiaşyqtağydai 44% artyqşylyq. Kelly tıgılımı 0,44/17 = 2,59%.
Ärqaisyna 1,29%-dan ekı bır nömırge bäs däl sondai nätije beredı. Ekı nömırdıñ bırı tüskende bır fişkaaqşaFişkaBäs jasau üşın üstelge qoiylatyn, bekıtılgen somany bıldıretın jeton. Basqaşa atauy: şek.Tolyğyn oqu → 35-ke 1 ūtady, ekınşısı ūtylady; taza nätije ekı nömırlık bäs töleitındei oiyn qorynyñ 34 × 1,29% = 44%-y; eşqaisysy tüspese, ekeuı de ūtylady.
Bır ainalymğa ösu 0,00505, bır ūiaşyqtağy 0,00244-ke qarsy; sondyqtan 1 000 ainalymda tiptık oiyn qory e^5,046 ≈ 155 ese, e^2,44 ≈ 11,5 ese ornyna ösedı. Ekı jaqsy nömır bır jaqsy nömırdıñ ekı esesınen äldeqaida qūndy, sondyqtan auytqudy paidalanuşylar nömır toptaryna tıgedı. Thorp (1984) däl sol salystyrudy taldaidy.

Külkılı üzılıs

$Ösudı oñtailandyratyn ruletka bäsı — bärı bıletın san.$

Ösudı oñtailandyratyn ruletka bäsı — bärı bıletın san.

Derekközder

Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.” Bell System Technical Journal 35(4), 1956.
Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.” Fourth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1-t., 1961.
Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.” Review of the International Statistical Institute 37(3), 1969.
Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling. Gambling Times / Lyle Stuart, 1984.
Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed. Academic Press, 2013.
Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed. CRC Press, 2021.
Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. 13-tarau, ruletka.
Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.” Jūmys qūjaty, qazan 2016; SSRN 2856963, arXiv:1701.01427.

2026-09-28 künı tekserıldıülgı: europalyq, bır nölädısteme ↗derekközder ↗